帕斯瓦爾 和 維納–辛欽 之間的區別與聯系

NSD 或 PSD 是噪聲的頻域表示

今天的第一篇文章，有讀者朋友下面留言了帕塞瓦爾定理，我以為我寫錯了，翻了書再看看。所以簡單的說說“帕斯瓦爾定理 (Parseval’s theorem)” 和 “維納–辛欽定理 (Wiener–Khinchin theorem)” 之間的區別與聯系。

帕斯瓦爾定理（Parseval’s theorem）

確定性信號

左邊：時域的能量

右邊：頻域的能量

信號的總能量在時域與頻域是守恒的；因此這也叫 能量守恒定理（energy conservation law）。

帕斯瓦爾定理適用于：確定性信號（非隨機）；能量有限的信號（能量信號）。

換句話說：

如果信號是周期性的（能量無窮），那就不能直接套這個形式，此時我們要引入 功率版本的 Parseval 定理。

周期信號的功率版本（Parseval’s theorem for power signals）

對于周期信號 ，周期 ，它的傅里葉級數系數是 。

帕斯瓦爾定理改寫為：

這里  是平均功率，這個版本常被稱作“功率形式的帕斯瓦爾定理”。

維納–辛欽定理（Wiener–Khinchin theorem）

維納–辛欽定理是帕斯瓦爾定理在平穩隨機過程上的推廣；對于零均值平穩隨機過程 ，定義自相關函數：

其功率譜密度（PSD）為：

于是：

對應關系：

對于確定性信號：

對于隨機過程：

回答問題

“自相關函數  等于功率譜密度積分是不是應該叫帕斯瓦爾定律？”— 嚴格來說，這個對應的是 維納–辛欽定理（功率版的 Parseval）。

“帕斯瓦爾定律定義的是能量，還得在時間上平均求極限才是功率。”— 完全正確；而且對周期或平穩隨機信號，要取時間平均或期望值，才能轉化成功率形式。

左半部分：帕斯瓦爾定理（能量守恒）

橫軸：時間 ，縱軸：。

面積  就是能量信號的總能量。

對應頻域的面積  相等? 能量在時域與頻域“守恒”。

右半部分：維納–辛欽定理（功率信號）

對于隨機或周期信號，單次能量是無限的，我們改看平均功率：。

其傅里葉變換是功率譜密度 。

兩者關系：

自相關函數在零點的值 = 頻域 PSD 的積分。

帕斯瓦爾 → 對應“能量信號”；維納–辛欽 → 對應“功率信號”；它們其實是同一物理思想（能量/功率在時頻兩域守恒）的兩個版本。