利用插值改進數字示波器的測量精度

眾所周知，數字示波器是數據采樣型儀器，無法捕獲輸入信號的連續記錄。根據采樣理論，如果用超過信號帶寬兩倍以上的速率對輸入信號進行采樣的話，該輸入信號就可以根據采集的樣本而被恢復出來。那么，存在存儲器中的采集樣本是如何被轉換成連續信號的呢？此外，如何對采樣的數據值進行準確的測量？最后，我們又如何測量小于采樣周期的時間間隔？這些問題的答案很簡單，插值！

顯示插值

插值是在采集的信號樣本之間添加計算得到的樣本點。這個過程可以增加有效采樣率，但不會增加所采信號的帶寬。插值的效果是填充波形中的間隙，如圖1所示。

圖1：上方跡線僅描繪了由實際采樣點組成的信號。下方跡線顯示的是啟用插值后的同一信號。插值點填充在高亮顯示的真實采樣點之間的間隙中。

大多數數字示波器顯示有兩種插值方法可供選擇，即線性插值或sin(x)/x插值。插值方法通常在輸入設置中進行選擇。在本文案例所用的示波器中，每個輸入通道都可以單獨控制選擇該通道的插值方式，而在其他示波器中，插值是統一選取的，即選擇某一方式后，所有采集通道將統一采用該方式。線性插值基本上是假設用一條直線連接兩個真實樣本，可以通過將三角窗函數與信號進行卷積來實現，具體實現方法之一是使用適當配置的數字濾波器。

Sin(x)/x插值所用的方法是將Sin(x)/x函數與信號進行卷積。時域中的sin(x)/x(或SINC)函數具有低通濾波器的頻譜，如圖2所示。

圖2：時域中的sin(x)/x函數(上方跡線)在頻域中具有低通濾波器響應(下方跡線)。

sin(x)/x頻率響應的帶寬是sin(x)/x函數振蕩周期的倒數。由于時域中的卷積相當于頻域中的乘法，因此sin(x)/x插值的操作基本上就是一種低通濾波。

隨著采樣率與帶寬之比或過采樣率的增加，線性插值方法和sin(x)/x插值方法的有效性都會隨之增加。對于給定的帶寬，插值性能總是隨著采樣率的提高而提高。不過不同的插值方法在性能上有一些差異。當過采樣率在10：1以上時，線性插值效果非常好。圖3給出了不同過采樣率條件下的線性插值示例。

圖3：線性插值器應用于500MHz正弦波的性能示例。過采樣率分別為20:1(左上)、10:1(左中)、5:1(左下)、2:1(右上)。2:1情況下的余暉畫面(右中)顯示它仍然是一個正弦波。

雖然在視覺上并不“漂亮”，但所有版本在技術上都是正確的。如果開啟無限余暉顯示功能，那么當信號的不同相位被采樣時，看起來不連續的波形將描繪出原始正弦波。使用余暉查看多次采集的歷史數據是一種測試訣竅，在用低過采樣率對波形進行采樣時會很有用。

Sin(x)/x插值在過采樣率超過2：1的情況下效果非常好。如圖4所示，如果過采樣率降至2：1以下，它們確實會出現問題。

圖4：對上升時間為27ns的階躍函數應用線性插值(上方跡線)和sin(x)/x插值(下方跡線)的比較，采樣率分別為250MS/s(左側跡線)或25MS/s(右側跡線)。

階躍函數是一種較低頻率的信號，由于存在中間的過渡而具有高頻分量。階躍函數的27ns上升時間具有13MHz的標稱帶寬。兩種插值方法在250MS/s的采樣率下都工作良好，此時的過采樣率約為20:1。當采樣率為25MS/s時，每個點的采樣周期為40ns，略低于2:1的過采樣率，此時線性插值器在邊沿上只有一個樣本，因此不能正確確定上升時間，不過波形基本上是正確的。sin(x)/x插值器在奈奎斯特極限以下運行時，會顯示出并非波形上真實存在的預沖和過沖現象，這種效果被稱為“吉布斯耳”。因此，在使用任何插值器時，關注采樣率并確保其大于奈奎斯特極限是很重要的。

插值數學函數

本文使用的示波器也可以將插值作為數學函數使用。數學函數版本包括線性插值、sin(x)/x插值和三次插值。三次插值擬合樣本之間的三階多項式。就計算速度而言，它的性能介于sin(x)/x插值和線性插值之間。插值數學函數允許用戶在采集的樣本點之間選擇介于2～50個插值樣本之間的插值因子。圖5給出了使用數學函數進行5:1插值的示例。

圖5：用于插值器數學函數設置的控件，使用三次插值器可將樣本數量增加五倍。

通過一系列大范圍上的采樣和各種控制，插值器數學函數為插值濾波器的定制化提供了更大的靈活性。與輸入通道插值器不同，數學函數允許同時查看插值器的輸入和輸出，因此非常方便對響應正確與否進行檢查。

插值數學函數允許用戶增加波形中的樣本數量，這在將信號應用于數字濾波器之前是有用的，因為濾波器的截止頻率是采樣率的函數。如下一節所述，它在表征波形測量方面也很有用。

測量插值

示波器中的時序測量是通過找到波形的電壓閾值交叉處的時間點來完成的。相同斜率邊沿交叉點之間的時間差形成一次周期測量。類似地，具有相反斜率的邊沿之間的交叉時間差形成一次寬度測量。在許多情況下，信號的上升時間非常快，在比如20GHz的采樣率下，邊沿上只有幾個樣本。簡單地在閾值附近的樣本之間畫一條線，是尋找交叉點的最簡捷選擇。然而，當樣本在閾值兩側不對稱分布時，可能會導致較大誤差。在測量過程中可以使用內部插值來更精確地定位測量閾值交叉點，其精度比采樣周期間隔好得多。這種測量過程會使用雙插值，其中三次插值用于在采集的樣本之間添加樣本，閾值交叉時間通過閾值兩側兩個插值樣本之間的線性插值來確定，如圖6所示。

圖6：將三次插值與線性插值相結合，可以提高數字示波器內部時序測量的時間分辨率。

時間是在波形幅度超過預定閾值的點位測量得到的。樣本以采樣間隔(本例中20GS/s時為50ps)隔開。先對波形使用三次插值，然后對最接近交叉點的點進行線性插值，就可以找到閾值交叉的確切時間。與以采樣周期間隔的原始樣本相比，采取這種方式所得到的測量結果具有高得多的時間分辨率。與sin(x)/x插值相比，使用三次插值具有更高的計算效率，并且精確插入樣本的計算速度也更快。

時基插值器

測量觸發事件和采樣時鐘之間子采樣時延的插值器，則是一個人們不太熟悉卻又更重要的插值器。通常，觸發事件與示波器的采樣時鐘是異步的。每次采集的采樣相位或水平偏移都是隨機的。如果要對從觸發器到第一個樣本的時間進行直方圖處理，它將在0和1樣本周期之間呈現均勻分布。由于隨機性水平偏移，多個波形的余暉畫面可以顯示樣本點的所有可能位置，如圖3所示。

穩定的觸發式顯示要求每個采集的波形跡線與觸發點在完全相同的時間位置對齊。對于沒有觸發延遲偏移的時基，觸發位置通常在時間零點。觸發器和采樣時鐘之間的時間差測量，是通過使用一種名為時間數字轉換器(TDC)的設備來測量時延而完成的，這里的TDC基本上是一種高分辨率計數器。這個時延就是波形的水平偏移。當顯示波形時，水平偏移用于排列來自多次采集的觸發信號，圖7顯示了一個復雜波形的六次采集。

圖7：超聲波波形的六次采集(上方網格)均使用縮放跡線進行了水平擴展，以便在下方網格中顯示每條跡線的水平偏移。標簽Z1到Z6指向(光標在t=0處標記的)每次觸發之前的實際采樣點。

使用水平縮放擴展了觸發周圍的區域，因此可以查看到六次采集的水平偏移變化范圍，采樣周期為20ns(50MS/s)。對于六次采集，在t=0觸發之前，水平偏移在2.5～17.7ns之間變化，其位于前面討論的一個樣本周期范圍內。TDC的時間分辨率取決于具體的示波器型號，并且與示波器的最大采樣率有關。涉及TDC性能的示波器指標是“觸發器和插值器抖動”。高性能示波器的指標通常小于2ps rms。示波器設計者會使用軟件輔助觸發對其進行改進，將該指標降至0.1ps以下。利用TDC與軟件輔助觸發，使抖動等與時間相關事件的精確測量成為可能。如果沒有TDC硬件和軟件，時間測量分辨率將受到采樣周期的限制。

(參考原文：Filling in the blanks in digital oscilloscope waveforms）

本文為《電子工程專輯》2023年6月刊雜志文章，版權所有，禁止轉載。點擊申請免費雜志訂閱